1、 在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一 般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系: c a A sin c b B sin 1sinC 不难得到: C c B b A a CB A a b c c c 在非直角三角形在非直角三角形中有这样的关系吗中有这样的关系吗? ? A c b a C B b AD c AD CBsin,sin 所以AD=csinB=bsinC, 即 , c B b 同理可得, c A a C c B b A a 即： D A c b CB 图1 过点
2、A作ADBC于D, 此时有 若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形, 如图如图1, CC b AD ）（且 C c B b A a 仿(2)可得 D 若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2, 此时也有 c AD B sin 交BC延长线于D,过点A作ADBC， C A c b B 图2 正弦定理: C c B b A a 即 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？ 剖析定理、加深理解 1 1、正弦定理可以解决三角
3、形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角 剖析定理、加深理解 2 2、A+B+C=A+B+C= 3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角 4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A正弦定理ppt，B B，C C 和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元 素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫的过程叫解三角形解三
4、角形 剖析定理、加深理解 5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式 6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化系的转化 定理的应用 例例 1 1、在、在ABC ABC 中，已知中，已知c = 10, c = 10, A = 45A = 45。 。, C = 30 , C = 30。 。， ，解三角形解三角形 ( (精确到精确到 0.010.01） 已知两角和任意边，已知两角和任意边， 求其他两边和一角求其他两边和一角 B A C a b c 例 2、 已知a=16， b= ， A=
5、30 . 解三角形 已知两边和其中一边已知两边和其中一边 的对角的对角,求其他边和角求其他边和角 解：由正弦定理 B b A a 得 2 3 16 sin a Ab B 所以60,或120 当 时60 C=90.32c C=30 .16 sin sin A Ca c 316 当120时 B 16 300 A B C 16 316 变式: a=30, b=26, A=30，解三角形 300 AB C 26 30 解：由正弦定理 B b A a 得 30 13 30 sin a Ab B 所以25.70, 或.7
6、0=154.30 由于154.30 +故B只有一解（如图） C=124.30,57.49 sin sin A Ca c 30 13 7 .25sin 变式: a=30, b=26, A=30，解三角形 300 AB C 26 30 解：由正弦定理 B b A a 得 30 13 30 sin a Ab B 所以25.70,C=124.30, 57.49 sin sin A Ca c 30 13 7 .25sin a b A B , 三角形中大边对大角 （R为为ABC外接圆半径）外接圆半径） 另证1: R C c B b A a 2
7、sin 证明：证明： O C/ c b a C B A R C c R c CC CCCBA 2 sin 2 ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 2 sin ,2 sin 同理 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, 另证2: 证明： ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 ABC sin 2 1 sin 2 1 同理 ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2
8、 1 ha AbcS ABC sin 2 1 课堂小结课堂小结 （1）三角形常用公式：）三角形常用公式： （2）正弦定理的应用）正弦定理的应用 正弦定理：正弦定理： ABC 111 222 ABC abc ABC 2R 课后作业课后作业 P10 习题习题1.1A组组 1， 2（1）（）（2） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和 角角 1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30. B=90，C=60，c= 313 (2) b=40，c=20，C=45. 练习 注：三角形中角的正弦值
9、小于时，角可能有两解 无解 课堂小结 （2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况) (1)正弦定理： abc ABC 2R 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其 他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有 一解一解,二解二解,无解无解? 课后思考课后思考 例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45， 求求B和和c。 22 变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。 22 变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A
10、45， 求求B和和c。 22 3 3 4 正弦定理应用二：正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角正弦定理ppt，进 而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解） 3 练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=，则，则B A、 B、 C、 D、 3 6 6 5 3 3 2 6 或或或或 登高登高3、在、在 ABC中，中， ，则，则 ABC的形状是的形状是 A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形 A b B a 练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :1 33 自我提高！自我提高！ 24 结束语结束语
