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正弦定理说课稿
共1课时
1.1.1 正弦定理 高中数学 人教A版2003课标版
1教学目标 2学情分析 3重点难点 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】正弦定理
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：
(1)已知两角和一边，解三角形：
(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标
1.知识与技能：
(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法;
(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题
2.过程与方法：
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力;通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观：
(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识;
(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.
四、教学重点、难点
教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用
教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
五、学法与教法
学法与教学用具
学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教学用具：电脑、多媒体。
教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式
整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索;②导——教师指导、循序渐进。
(1)新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
(2)掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。
(3)例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。
(4)巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文科18题，巩固新知。
六、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创提
设出
情问
境题
(1)展示辽阳白塔、千山、太子河图片，引导学生发现问题：如何能够实现不登山而知山高，不过河而知河宽;
(2)创设情境提出问题：某人站在太子河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，如何能够求出A、B两点间的距离?(备用工具：测角仪和皮尺)
引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法.
启发学生发现问题实质是：已知ABC中∠B、∠C和BC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边.
创设情境，提出问题，激发学生兴趣引出课题，探究三角形的边(三边)、角(三角)关系.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
探提
寻出
特猜
例想
回顾直角三角形中边角关系.如图：
引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.
利用c边相同，寻求形式的和谐统一，即：
在RtABC中
思考：在斜三角中，上式关系是否成立?
引导学生经历经历由特殊到一般的发现过程
逻证
辑明
推猜
理想
正弦定理及其推导
在锐角三角形中
作CD AB于D，有
在钝角三角形中
引导学生自主探究对于一般的三角形 是否仍然成立
分类讨论
(1)在锐角三角形中，等式是否成立?
(2)在钝角三角形中，等式是否成立?
(3)如何证明?
让学生分组讨论自主探究，教师注意巡视指导，引导学生思考
引导学生通过自主探究、合作交流寻求问题结论和解决办法
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
作CD AB于D，有
综上：得：
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
定概
理念
形深
成化
(1)正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美;
(2)解三角形： 一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(3)思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形?
引导学生充分理解正弦定理，掌握正弦定理的结构特征，启发学生思考正弦定理可以那些解决解三角问题.
引导学生体会正弦定理所体现的美学价值，挖掘正弦定理的应用.
范举
例一
教反
学三
(1)正弦定理可以用于解决已知两角和任意一边求另两边和一角的问题.
例1：
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题..
例2：
例1由学生给出条件
结合两道例题，引导学生总结：(1)已知两角一边，解三角形，解的情况唯一;
(2)已知两边及一边对角，解三角形，何时有一解?两解?何时无法构成三角形?
师生共同总结.
进一步深化对正弦定理的认识和理解，掌握正弦定理在解三角形问题中的应用，并学会部解三角形通过作图法也能判定解的情况.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
变式训练：
利用作图法总结已知两边及一边对角解三角形时解的情况
学解
以决
致引
用例
应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题，并进一步求出此段太子河宽度问题.
学生给出解决方法
首尾呼应，解决之前提出问题，并进一步解决测河宽问题，同理也可解决测山高问题，学以致用.
课直
堂击
练高
习考
(2009)辽宁高考理科数学第17题(文数18题)
学生动脑思考，教师指导.
与时俱进，直击高考，使学生进一步体会正弦定理的应用.
(1)正弦定理：
(2)正弦定理的运用
(3)思想和方法
师生共同总结本节课收获.
引导学生学会自己总结，让学生进一步(回顾)体会知识的形成、发展、完善的过程.
(2)你还能用其它方法证明正弦定理吗?有兴趣的同学可以在课后继续进行讨论.
学生课后完成.
巩固深化：进一步培养自主探究能力.
板书设计
附后
板书设计清楚整洁,便于突出知识目标
七、评价分析
这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。
1.1.1 正弦定理
课时设计 课堂实录
1.1.1 正弦定理
1第一学时 教学活动 活动1【导入】正弦定理
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：
(1)已知两角和一边，解三角形：
(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标
1.知识与技能：
(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法;
(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题
2.过程与方法：
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力;通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观：
(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识;
(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.
四、教学重点、难点
教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用
教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
五、学法与教法
学法与教学用具
学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教学用具：电脑、多媒体。
教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式
整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索;②导——教师指导、循序渐进。
(1)新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
(2)掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。
(3)例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。
(4)巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文科18题，巩固新知。
六、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创提
设出
情问
境题
(1)展示辽阳白塔、千山、太子河图片，引导学生发现问题：如何能够实现不登山而知山高，不过河而知河宽;
(2)创设情境提出问题：某人站在太子河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，如何能够求出A、B两点间的距离?(备用工具：测角仪和皮尺)
引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法.
启发学生发现问题实质是：已知ABC中∠B、∠C和BC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边.
创设情境，提出问题，激发学生兴趣引出课题，探究三角形的边(三边)、角(三角)关系.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
探提
寻出
特猜
例想
回顾直角三角形中边角关系.如图：
引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.
利用c边相同，寻求形式的和谐统一，即：
在RtABC中
思考：在斜三角中，上式关系是否成立?
引导学生经历经历由特殊到一般的发现过程
逻证
辑明
推猜
理想
正弦定理及其推导
在锐角三角形中
作CD AB于D，有
在钝角三角形中
引导学生自主探究对于一般的三角形 是否仍然成立
分类讨论
(1)在锐角三角形中，等式是否成立?
(2)在钝角三角形中，等式是否成立?
(3)如何证明?
让学生分组讨论自主探究，教师注意巡视指导，引导学生思考
引导学生通过自主探究、合作交流寻求问题结论和解决办法
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
作CD AB于D，有
综上：得：
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
定概
理念
形深
成化
(1)正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美;
(2)解三角形： 一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(3)思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形?
引导学生充分理解正弦定理，掌握正弦定理的结构特征，启发学生思考正弦定理可以那些解决解三角问题.
引导学生体会正弦定理所体现的美学价值，挖掘正弦定理的应用.
范举
例一
教反
学三
(1)正弦定理可以用于解决已知两角和任意一边求另两边和一角的问题.
例1：
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题..
例2：
例1由学生给出条件
结合两道例题，引导学生总结：(1)已知两角一边，解三角形，解的情况唯一;
(2)已知两边及一边对角，解三角形，何时有一解?两解?何时无法构成三角形?
师生共同总结.
进一步深化对正弦定理的认识和理解，掌握正弦定理在解三角形问题中的应用，并学会部解三角形通过作图法也能判定解的情况.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
变式训练：
利用作图法总结已知两边及一边对角解三角形时解的情况
学解
以决
致引
用例
应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题，并进一步求出此段太子河宽度问题.
学生给出解决方法
首尾呼应，解决之前提出问题，并进一步解决测河宽问题，同理也可解决测山高问题，学以致用.
课直
堂击
练高
习考
(2009)辽宁高考理科数学第17题(文数18题)
学生动脑思考，教师指导.
与时俱进，直击高考，使学生进一步体会正弦定理的应用.
(1)正弦定理：
(2)正弦定理的运用
(3)思想和方法
师生共同总结本节课收获.
引导学生学会自己总结，让学生进一步(回顾)体会知识的形成、发展、完善的过程.
(2)你还能用其它方法证明正弦定理吗?有兴趣的同学可以在课后继续进行讨论.
学生课后完成.
巩固深化：进一步培养自主探究能力.
板书设计
附后
板书设计清楚整洁,便于突出知识目标
七、评价分析
这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。
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余弦定理说课稿
各位老师大家好!
今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。下面我分别从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想.
一、 教材分析
本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用;教学难点是余弦定理的发现及证明;教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用.
二、 教学目标的确定
基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：
1.知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题;
2.过程与方法:掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力;
3.情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识.
三、 教学方法的选择
基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发贝语网校，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法正弦定理ppt，培养能力.
在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点.
四、 教学过程的设计
为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题;探索研究、构建新知;例题讲解、巩固练习;课堂小结，布置作业。具体过程如下：
1.创设情境，引入课题
利用多媒体引出如下问题：
A地和B地之间隔着一个水塘(如图所示)现选择一地点C，可以测得 的大小及 ， ，求 A、B两地之间的距离c.
【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但
由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望.
2. 探索研究、构建新知
(1)由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况 为直角三角形( )时考虑。此时使用勾股定理，得 .
(2)从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作 边的高 ，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系.
(3)考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到在 为钝角三角形( )中.
通过解决问题可以得到在任意三角形中都有 ，之后让同学们类比出 、 .这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余弦定理的内容及公式表示.
【设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对余弦定理的认识.
在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝试使用向量的方法证明余弦定理.之后引导学生对余弦定理公式进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种表示形式，这样就完成了新知的构建.
根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下两类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角;
(2) 已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角.
3. 例题讲解、巩固练习
本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方法。其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板书，从而巩固余弦定理的运用.
例题讲解：
例1 在 中，
(1)已知 ,求 ;
(2)已知 ，求 .
【设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用.
例2 对于例题1(2)，求 的大小.
【设计意图】已经求出了 的度数，学生可能会有两种解法：运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题.
例3 使用余弦定理证明：在 中，当 为锐角时， ;当 为钝角时， .
【设计意图】例3通过对 和 的比较，体现了“余弦定理是勾股定理的推广”这一思想，进一步加深了对余弦定理的认识和理解.
课堂练习：
练习1 在 中，
(1)已知 ,求 ;
(2)已知 ，求 .
【设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固学生对余弦定理的运用.
练习2 若三条线段长分别为5，6，7，则用这三条线段().
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
【设计意图】与例题3相呼应.
练习3 在 中，已知 ，试求 的大小.
【设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形.
4.课堂小结，布置作业
先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方面进行总结：
(1)余弦定理的内容和公式;
(2)余弦定理实质上是勾股定理的推广;
(3)余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题.
通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力.
布置作业
必做题：习题1.2 1、2、3、5、6;
选做题： 习题1.2 12、13.
【设计意图】作业分为必做题和选做题.针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高.
各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是千变万化的，会随着学生和教师的临时发挥而随机生成.预设效果如何，最终还有待于课堂教学实践的检验.
本说课一定存在诸多不足，恳请老师提出宝贵意见，谢谢.
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