《函数的概念》评课稿
篇二 ： 初中一次函数说课稿
一次函数说课稿
大家好,我今天说课的内容是《一次函数》.［]下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等五个方面对本课的教学设计进行说明：
一、教材分析
本课的内容是人教版八年级上册第14章第2节第2课时.在许多方面与正比例函数的图象和性质有着紧密联系,是本章中的重点.本节课安排在正比例函数的图象与一次函数的概念之后.通过这一节课的学习使学生掌握一次函数图象的画法和一次函数的性质.它既是正比例函数的图象和性质的拓展,又是今后继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础,在本章中起着承上启下的作用.本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.作为一种数学模型,一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用.
二、教学目标
基于以上的教材分析,结合新课程标准的新理念,确立如下教学目标：
知识与技能：
1、理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系;
2、会利用两个合适的点画出一次函数的图象；
3、掌握一次函数的性质.
过程与方法：
一次函数课件 初中一次函数说课稿
1、通过研究图象,经历知识的归纳、探究过程；培养学生观察、比较、概括、推理的能力；
2、通过一次函数的图象总结函数的性质,体验数形结合法的应用,培养推理及抽象思维能力.(］
情感态度与价值观：
1、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质,体验数与形的内在联系,感受函数图象的简洁美；
2、在探究一次函数的图象和性质的活动中,通过一系列富有探究性的问题,渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.
三、教学重点难点
教学重点：一次函数的图象和性质.
教学难点：由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
四、教学方法
依据当前素质教育的要求：以人为本,以学生为主体,让教最大限度的服务于学生.因此我选用了以下教学方法：
1、自学体验法——利用学生描点作图经历体验并发现问题,分析问题进一步归纳总结.
目的：通过这种教学方式来激发学生学习的积极主动性,培养学生独立思考能力和创新意识.
2、直观教学法——利用多媒体现代教学手段.
目的：通过图片和材料的展示来激发学生学习兴趣,把抽象的知
一次函数课件 初中一次函数说课稿
识直观的展现在学生面前,逐步将他们的感性认识引领到理性的思考.（)
3、学法指导
做为一名合格的老师,不止局限于知识的传授,更重要的是使学生学会如何去学.本着这样的原则,课上指导学生采用以下学习方法：
1、应用自主探究.培养学生独立思考能力,阅读能力和自主探究的学习习惯.
2、指导学生观察图象,分析材料.培养观察总结能力.
五、 教学过程
（一）、创设情境,导入新课
活动1：观察：
展示学生作图作品（书p28例2）,强调列表及图象上的点的对应关系.
课前一两分钟对学生上交的作图作品进行快速筛选,尽量多选出一部分,课上多肯定多表扬多鼓励.再从中选取一两幅优秀的作品上课为示例.
目的有四：
1、根据学生的年龄特征：都具有强烈的表现自我的心理.大部分学生盼望在课上教师能展示自己的作品,这样将最大限度地调动学生的学习积极性,其作图会比平时更规范更准确；也可以说完成了变教师课上被动讲、为学生课外主动学习的过程,这样学生的所获更多、印象更深；
2、课上展示学生作品本身就是对学生完成作业情况的肯定,这又
一次函数课件 初中一次函数说课稿
恰好给予了学生足够的成功感和荣誉感,增加了学生学习数学的信心,乐意学习数学,激发了学习热情,听课更加专心.［）
3、学生经历画图象进而感悟它的形状及与正比例函数图象的异同,为后面的发现规律作了准备.
4、令教师对学生有了更深层次的了解,能更好地把握课堂.
（二）尝试探索、体验新知：
活动1、观察探索：
比较两个函数图象的相同点与不同点？
第一步；根据你的观察结果回答问题.（书中原问题1、2、3） 目的：这样在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上,通过对应描点法来画出图象,让学生通过操作体验、感悟两者之间的关系,问题变得直观形象,学生们非常容易地完成迁移.
第二步：在学生作出的两条平行直线中,教师先引导学生观察正比例函数图象的交点情况,引用两点法（两点确定线）；在此基础上引导学生发现“直线y=6x+5与坐标轴交点”并思考：一次函数y=-6x+5又如何作出图象？
目的：这样通过启发学生视觉见到的两点,即与坐标轴的交点{（0,b）,和（-b/k,0）两点}；此交点的求法（学生易从填表中的数据发现）,再反之引导学生抓住这两点画图象.就此题体验一次函数图象的两点确定；同时也教会了学生用两点法画一次函数图象.
活动2：知识再体验：在同一直角坐标系中画出四个k值不同的一次函数图象,并观察分析.
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目的：进一步巩固两点作图法,为探究一次函数的性质作准备.（) 活动3：展示“上下坡”材料,解决象限问题.（多媒体展示） 目的：让学生触发漫画中“上下坡”的情景,引导思考k、b对图象的影响——化抽象为形象,化枯燥为生动,同时学生对这种直观的知识易接受,易理解,记忆深刻.从而突出了重点,攻破了难点. 活动4：师生互动（师生角色互换）,提高拓展.（多媒体展出内容）
目的：通过这种师生互动角色转换形式,不但能尽快烘起课堂气氛,而且复习了本课的重点内容,对一次函数的性质理解的更透彻.
（三）课堂小结
引导学生回忆所学知识.通过这节课的学习你得到什么启示和收获？谈谈你的感受.
目的：总结回顾学习内容,有助于学生养成整理知识的习惯；有助于学生在刚刚理解了新知识的基础上,及时把知识系统化、条理化.
（四）作业布置
加强“教、学”反思,进一步提高“教与学”效果.
四、说板书设计
采用了如下板书,要点突出,简明清晰.
一次函数
正比例函数图像的画法：确定两点为（0,0）和（1,k）一次函数选择的两点为：（0,k)和（-b\k,0）
五、课后小结
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实践证明,在教学中,充分利用教学方法的优势,为学生创造一个好的学习氛围,来引导学生发现问题、分析问题从而解决问题.［］多媒体课件支撑着整个教学过程,令学生在一个生动有趣的课堂上,能愉快地接受知识.
初一数学
函数的概念ppt课件
3.1.1 函数的概念
按照某种确定的对应关系f,
一个函数的构成要素为:.
1.一般区间的表示
设a,b是两个实数,而且a0)的定义域.
函数的概念教学设计
《函数的概念》教学设计
郑士广
教材分析
函数是高中数学的重要内容。高中数学对于函数的定义比较抽象，不易理解。高中数学相比初中数学来说更偏重于理解，所以，理解函数的定义是学好函数这一重要部分的基础。理解函数的定义关键在于理解对应关系。
学情分析
初中数学对于函数的定义比较好理解，而在高中数学里函数的定义是从集合的角度来描述的。函数的三要素是定义域、对应关系、值域。函数本质是一种对应关系。直接讲定义时学生时难于理解的，尤其是对抽象的函数符号的理解。
教法分析
现在的教学理念是以学生的学为中心的，要将学生的学寓于教学活动中去，让学生去体验，去感悟。本节课以学生熟知的消消乐游戏开始，由问题引出对应的概念，进而引导学生们去联想生活中的对应关系第一考试网，比如健康码、一个萝卜一个坑儿等。这些生活中的现象之中就蕴含着函数的概念，从而自然引入函数的概念。
教学重难点
函数的概念的理解
学习结果评价
能自己描述一个函数的例子。能判断是否为函数。
教学过程
游戏导入
学生体验消消乐游戏后，思考：两个图形怎么样才能消失。
想一想生活中的对应关系
健康码、一个萝卜一个坑儿。
再看一个例子
旅行前了解当地的天气
问题1：该气温变化图中有哪些变量？
问题2：变量之间是什么关系？
问题3：能否用集合语言来阐述它们之间的关系？
问题4：再了解函数的概念之后，你能否再举一些函数的例子？
问题5：我也来举一些例子，你们看看是不是函数关系？
课堂小结
理解函数的概念关键在于理解其中的对应关系。
1.1函数的概念ppt
第一章
高等数学
函数的极限与连续
中国农业出版社
函数的极限与连续
第一章
第二节 数列的极限
第一节 函数的基本概念
第三节 函数的极限
第四节 无穷小与无穷大量
第五节 函数极限的运算法则
第六节 两个重要极限
第七节 无穷小量的比较
第八节 函数的连续性
第九节 初等函数的连续性
元素 a 属于集合 m , 记作
元素 a 不属于集合 m , 记作
一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1.
具有特定属性的对象所组成的总体称为集合.
组成集合的对象称为元素.
不含任何元素的集合称为空集 ,
记作 ? .
注: 集合用大写a、b、c表示，元素用小写a、b、c表示
有限集，无限集.
简称集
简称元
第一节 函数的基本概念
表示法：
(1) 列举法：
按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
自然数集
(2) 描述法：
x 所具有的特征
例: 整数集合
或
有理数集
p 与 q 互质
实数集合
x 为有理数或无理数
第一节 函数的基本概念
区间与邻域
开区间
闭区间
半开区间
无限区间
第一节 函数的基本概念
第一节 函数的基本概念
图2
第一节 函数的基本概念
图1-16
第一节 函数的基本概念
函数
设和是两个变量，是一个非空数集. 如果按照某个法则 ，对每个数函数的概念ppt，变量总有唯一确定的值与之对应， 则称此对应法则为定义在 上的函数， 与对应的值称为 在处的函数值， 记作，即. 变量 称为自变量，称为因变量. 数集 称为定义域，称为函数的值域.
第一节 函数的基本概念
由函数的定义可知，一个函数由对应法则 及定义域 所完全确定，选用什么字母表示函数不是本质的.也就是说，两个函数相同的充分必要条件是其定义域与对应法则完全相同.
例如与这两个函数的定义域都是?? ，而且对应法则也相同，因而这两个函数是相同的．
第一节 函数的基本概念
而函数与是不相同的，因为的定义域是??.
而的定义域是.
显然，与是同一个函数．
第一节 函数的基本概念
-2
-1
-1
-2
y=[x]
图1-33
第一节 函数的基本概念
例1 上岸点的问题
有一个士兵p，在一个半径为r的圆形游泳池（图1）
内游泳，当他的位置位于点处时，听到紧急集
合号，需要立即赶回位于处的营房去，
假设该士兵水中游泳的速度为 ?? 1 ,陆地上跑步的速度为 ?? 2
求赶回营房所需的时间 ??与上岸点??位置的函数关系.
第一节 函数的基本概念
解：因为需要求的是时间??与上岸点m位置的函数关系，所以一定要先把上岸点m的位置数字化，根据本题特点可设,于是本题就成为了求函数关系的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数 的定义域为.
该士兵在水中游泳所花的时间为
而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：
(1)当时，有
第一节 函数的基本概念
(1)当时，有.
综上所述，可得
第一节 函数的基本概念
例2 2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，个人所得税起征点为5000元，这是中国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修。同时发布的税法修正案规定（见表1，表中仅保留原表中的前四级的税率）：
第一节 函数的基本概念
其中应纳税所得额为月工资减去5000元，按照表中的对应规则，工资与个人所得税之间具有函数关系。试给出月工资和所得税金额之间的函数关系。若某人的月工资为10000元，试计算其应缴纳的个人所得税金额。
解：设某人的月工资为??元，应缴纳的个人所得税金额为??元，依题意可得
第一节 函数的基本概念
某人的月工资为10000元，则相应的个人所得税计算公式为
即此人每月应该缴纳290元个人所得税.
第一节 函数的基本概念
由定义可知，复合函数是说明函数对应法则的某种表达方式的一个概念.
利用这一概念，一方面也可以产生新的函数，另一方面，可以把函数分解成几个函数.
例 3 设则复合而成的函数为
第一节 函数的基本概念
例 4 设则复合而成的函数为
虽然函数的定义域为?? ，但为了使复合后的函数有意义，必须使，故限制 ??的范围为.
例 5 设函数，则由于 无论取何值均有
，故??的值域为，而的定义域
故无定义.
例5表明，并非任何两个函数都能够复合成一个复合函数.
第一节 函数的基本概念
关于复合函数，重要的是把一个复合函数分解成若干个简单函数.
例如可以分解为
函数可以分解为
第一节 函数的基本概念
函数的几种特性
1、有界性
注意 （1）函数?? ?? 有界还是无界是相对于某个区间而言的.
（2）常见的有界函数
第一节 函数的基本概念
函数的几种特性
2、单调性
，则称 在区间??上单调增加；若，则称 在区间 上减少.
第一节 函数的基本概念
3、奇偶性
则称 为偶函数（或 为奇函数）.
第一节 函数的基本概念
（1）图形特征：偶函数 关于 轴对称，奇函数 关于原点对称.
（2）运算性质：
奇函数的代数和是奇函数，偶函数的代数和为偶函数.
偶数个奇（或偶）函数之积为偶函数，
奇数个奇函数的积为奇函数.
一奇一偶函数的乘积为奇函数.
第一节 函数的基本概念
4、周期性
称满足上式的最小正数??为函数的周期.
例如，函数都是以2??为周期的周期函数.
第一节 函数的基本概念
函数关系中的两个变量（自变量和因变量），其地位是不同的，但是在实际问题中，两个变量哪个看作自变量，那个看成因变量，不是绝对的.
形如就称为的反函数，习惯上写为.
与其反函数的图形关于直线 对称.
2、只有一 一对应的函数才有反函数.
第一节 函数的基本概念
y=x
y=x2
y=x3
(1,1)
图1-17
1. 基本初等函数
第一节 函数的基本概念
图1-18
图1-19
(３) 对数函数:
第一节 函数的基本概念
图1-20
图1-21
第一节 函数的基本概念
对数具有以下运算性质：对任意的，,
第一节 函数的基本概念
(４) 三角函数
正弦函数，余弦函数，正切函数函数的概念ppt，余切函数，正割函数和余割函数统称为三角函数.
图1-22
图1-23
的定义域是 r， 值域是[-1，1]， 最小正周期是 2π， 它是奇函数(见图1-22)；
第一节 函数的基本概念
的定义域是，值域是，最小正周期是 π ，在定义域上是奇函数（见图1-24）；
图1-24
图1-25
-π
π
2π
3π
﹣π
π
2π
3π
,??≠kπ,k ∈z
第一节 函数的基本概念
正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为
第一节 函数的基本概念
(５) 反三角函数
定义１在区间上的正弦函数的反函数记作，
π
π
图1-26
,x∈[?1,1]
第一节 函数的基本概念
定义2在区间上的余弦函数的反函数记作，
图1-27
π
-1
第一节 函数的基本概念
定义3在区间上的正切函数的反函数记作，定义域是，值域为， 称为反正切函数，在整个定义域上是单调递增函数(见图1-28)；
图1-28
三角函数的反函数统称为反三角函数.
图1-29
第一节 函数的基本概念
我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的， 并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
例如都是初等函数， 本书中讨论的函数基本上都是初等函数.
第一节 函数的基本概念
图1-30
图1-31
第一节 函数的基本概念
-1
图1-32
第一节 函数的基本概念
在例２、例３ 等例子中看到， 有时一个函数要用几个式子表示， 这种自变量在不同变化范围中， 对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数. 分段函数在实际问题中经常出现， 我们应重视对它的研究.
第一节 函数的基本概念
y=f(x)
y=x-1
－1
y=x3
图1-34
第一节 函数的基本概念
例10设，求和.
解
第一节 函数的基本概念
例11 求函数的定义域.
解 所给函数由复合而成.的定义域是，
即， 从而，解这个关于 的不等式， 得，
因此， 函数的定义域为.
第一节 函数的基本概念
例12设的定义域是，求的定义域.
解 函数由复合而成. 因为的定义域为，故必有
的值域是，即. 因此， 开区间
的并即为的定义域.
1.2.1《函数的概念》(1)
1.2.1 函数的概念(1)
初中函数的概念:
设在变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x的函数, x叫做自变量.
已学过的函数:正比例函数,反比例函数,一次函数,二次函数等.
思考:y=1(x∈r)是函数吗？
(1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间(单位:t)变化的规律是h=130t－5t2
t的取值范围：
数集a={t|0≤t≤26}
h的取值范围：
数集b={h|0≤h≤845}
三个引例：
(2)近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况。
t的取值范围：
数集a={t|1979≤t≤2001}
s的取值范围：
数集b={s|0≤s≤26}
(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数．记作：y=f(x)，x∈a．
注意：①函数符号f(x)，有时可用其它的字母表示，如“y = g (x)”；②f (x)：表示函数，不是 f 乘x．
函数的定义：
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈a }叫做函数的值域．
x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；
值域是数集b的子集。
③f(a)：表示当x=a时，f(x)对应的函数值。
定义域a； 值域{f(x)|x∈r}； 对应法则f.
函数的三要素:
(2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具 体含义不一样；
函数符号y＝f (x) 表示y是x的函数， f (x)不是表示 f 与x的乘积；
☆ 1.下列图像中不能作为函数的是（ ）
（ａ）
（ｂ）
（ｃ）
（ｄ）
ｂ
任意的x
唯一的y
定义域
值域
4. y=ax2+bx+c (a≠0)
两个相等函数的判定：定义域，对应法则f（函数表达式）
集合表示
区间表示
数轴表示
{x a＜x＜b}
(a , b)
。
。
{x a≤x≤b}
[a , b]
{x a≤x＜b}
[a , b)
。
{x a＜x≤b}
(a , b]
。
{x x＜a}
(－∞, a)
。
{x x≤a}
(－∞, a]
{x x＞b}
(b , +∞)
。
{x x≥b}
[b , +∞)
{x x∈r}
(－∞,+∞)
数轴上所有的点
说明：①对于函数y=?(x)，如果不加说明，函数的定义域是指使这式子有意义的x的取值范围.
③常见函数定义域的求法：
f(x)≠0
f(x)≥0
f(x)≠0
②函数定义域常用集合、区间形式表示。
练习：课本p19. 1，2
小结：①函数及其有关概念(定义域、值域、函数相等)②求函数定义域的基本方法；③区间的规定。
作业:bp24 1-6sp13 1,2,3,7,10,11, 1,2,7,10,,2,4
小结：①函数及其有关概念(定义域、值域、函数相等)②求函数定义域的基本方法；③区间的规定。
作业:书p24 1-6三维方案p13 1,2,3,10,11,12p15 1,2,7,10,p1611,2,4
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函数概念的发展史
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但尚未意识到要提炼函数概念
1673年，莱布尼兹首次使用“”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
1718年约翰xxxxx柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。
1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”
1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。
1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义就是人们常说的经典函数定义。
等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
函数的概念ab版教材解读
函数的概念ab版教材解读
一、课标解读：
课标要求：（原文）
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
教学目标：
1、在“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”，经历函数概念的抽象过程，培养学生数学抽象素养；
2、从不同的问题情境中提炼函数要素，理解函数的对应关系，培养学生数学建模素养.
二、ab版教材对比：
1、本章导语：
ab版差别不大，有实际生活情境提出问题，需要在初中学习的基础上重新认识函数，体会用集合与对应关系的语言定义函数的必要性.
2、函数概念的引入：
a版，问题情境给出4个实际案例，问题1,2基于学生初中学习过的一次函数，区别在于自变量的变化范围不同，引导学生体会解析式和自变量的变化范围都是确定函数的要素.问题3,4让学生从不同角度（图像，表格）认识函数，体会对应关系也是确定函数的要素.4个问题都用集合与对应关系的语言对其中的函数进行了精确刻画，引导学生发现函数的三要素，为抽象函数的概念做准备.值得注意的是a版在给出函数定义后教材进一步用以上4个问题情境解释了集合b与函数值域的关系，加强学生对值域的理解.随后安排了用函数的定义去理解学过的一次函数，二次函数，反比例函数，加深学生对函数概念的理解.a版从概念的引入到提出到应用，整个过程贴合学生实际认知水平，逐步化解本节难点，使函数这一抽象概念变得容易理解.
b版，结合初中学习过的一次、二次、反比例函数，提出2个实际案例，引起学生思考，初中学习过的函数的表示方法有局限性，需引入新的语言刻画函数，从而给出函数的概念，相较与a版的步步设问引导，b版概念的提出略显突兀，函数概念本就抽象不好理解，没有相关符号语言的分析归纳，不利于数学思维较弱的学生进行自主学习.但是b版教材在概念之后设置了拓展阅读“函数定义的演变过程简介”加强学生数学史的学习，体会概念一步一步完善的过程，激发学生的学习兴趣.
3、例题、习题的设置
a版，例1由解析式还原实际问题，使学生亲身经历构建函数的过程，加深对函数概念理解的同时，体会学习函数的重要性.例2求函数的定义域，求值，体会函数符号的含义.例3判断两个函数是否是同一个函数，认识函数的整体性.例题后设置相对应的练习.
b版，例1求函数的定义域，例2判断元素是否属于值域，例3求值，求值域.总体加强对函数概念的理解.其中例2，例3都用到了前一章学习的不等式的性质.练习设在本节最后.
总体感觉a版习题多，题型全，贴合本节所学内容，例题逐步提升难度，帮助学生从不同角度理解概念，利于学生巩固所学知识.
三、习题改编：
课本题源：
b版88页 例3，本题考查函数求值，求值域.第二问法一利用不等式的性质，由尝试与发现引导学生发现法二逆求法（反函数法）.
改编1：已知函数，
（1）求，，，；
（2）时，求函数的值域；
（3）时，求函数的值域.
改编2：已知函数，求函数的值域.
改编3：已知函数，求函数的值域.
（改编2,3可同改编1一样，改变函数的定义域）
解析：
改编1：
解:（1）由已知可得，，，
（2）法一：由已知 ，所以，从而可知，即所求函数的值域为.
法二：设t是所求值域中的元素，则关于x的方程应该有解，即，应该有解，从而，即，所以.即所求函数的值域为.
（3）法一：由已知 ，所以，从而可知，即所求函数的值域为.
法二：设t是所求值域中的元素，则关于x的方程应该有解，即，应该有解，从而，即，所以.即所求函数的值域为.
改编2：
解：，令，则
以下解法同例3.
改编3：
解：法一：，
由已知 ，所以，从而可知，又因为当x的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，因此，所以即所求函数的值域为.
法二：，设t是所求值域中的元素，则关于x的方程应该有解，即，应该有解，从而，即，所以，所以，即所求函数的值域为.
改编说明：
改编1，由（2）（3）问求出值域，同时比较（1）中求出的函数值，让学生体会不能简单代入区间端点求值得到值域.
改编2,3通过换元法，分离常数法转化为母题例3，说明函数形式千变万化，做题时抓本质.
另解：以上改编都可用判别式法，以改编3为例.
，设t是所求值域中的元素，则关于x的方程应该有解，即方程①有解.
当t=2时，方程①无解；
当t≠2时，，解得，
综上，所求函数的值域为.
对数函数的概念教学设计
4.5.1 对数函数的概念
一、教学目标
1. 函数零点的概念.（理解）
2. f(x) / 0 有解与y / f(x) 有零点的关系.（理解）
3. 函数零点的判断.（理解）
二、教学重难点
在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等） 的图像与性质的基 础上，提炼方程f(x) / 0 的解与函数y / f(x) 的图像与x 轴交点的关系，进而理解并 准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点 三者之间的关系，并能从“形”（函数图像） 与“数”（函数零点存在定理） 两个
角度分析解决函数零点有关问题.
三、教学过程1.函数零点概念的形成
1.1 温故知新，引发思考
【复习引入】 函数，方程这几个概念同学们并不陌生，请问大家会解什么样的方程呢？ 【预设答案】 一元一次方程，一元二次方程。
问题： 同学们思考一下多次方程会解吗？ 我们能不能处理呢？
教师讲解： 我国古代数学家比较系统解决了部分方程求解问题。约公元 50 ～ 100 年
编成的《九章算术》， 就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法。这比西方早了三百多年。
11 世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。13 世纪，南宋数学家
秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创。
【设计意图】 将数学文化巧妙引入，使得学生在掌握数学知识的同时，对方程求解的数
学文化数学史有一定的了解，增强学生民族自豪感。
问题：（ 1）这几个特殊二次方程的求解问题能否处理，请学生画出对应的 函数图象，观察方程解与函数图象的关系。
（2）你能否得到一个初步结论呢？ 由此，能否推广到一般二次方程与二
次函数的关系呢？
【 预 设 答 案 】 一 元 二 次 方 程 ax2 / bx / c / 0（a / 0）的 实 数 根 就 是 函 数 y / ax2 / bx / c（a / 0）图象与x 轴交点的横坐标.
当a / 0 时，一元二次方程ax2 / bx / c / 0 的实数根、二次函数y / ax2 / bx / c 的函数图
象之间的关系如下表所示：
/ / b2 / 4ac
/ / 0
/ / 0
/ / 0
ax2 / bx / c / 0 的实数根
/ b / /
,2a
（其中x1 / x2 ）
x1 / x2 / /2a
方程无实数根
y / ax2 / bx / c 的图像
y / ax2 / bx / c
的零点
/ b / /
,2a
x1 / x2 / /2a
函数无零点
类似可得当a / 0 的情形.
【设计意图】 由已知入手，通过学生熟悉的一元二次函数一元二次方程切入，由已知探索
未知，从而得到一般结论。
1.2 逐步探究，形成概念
教师讲授：
1. 函数零点的概念
对于一般函数y / f(x) ，我们把使f(x) / 0 的实数x 叫做函数y / f(x) 的零点. 即哈数 的零点就是使函数值为零的自变量的值.
2. 函数的零点与方程的解的关系
函数y / f(x) 的零点就是方程f(x) / 0 的实数解，也就是函数y / f(x) 的图像与x 轴 的公共点的横坐标. 所以方程 f(x) / 0 有实数解/ 函数 y / f(x) 有零点/ 函数 y / f(x) 的图像与x 轴有公共点.
【设计意图】 不断强化学生思维，使得学生对函数零点概念理解更加透彻，将函数零点，
方程的根，函数图象与x 轴交点三者更加紧密的联系起来，并为接下来函数零点的运用做铺垫。
1.3 典例剖析，熟练应用
【活动预设】例 1： 函数图象如下，则其零点为？
/ 1
例 2： 判断下列函数是否存在的零点，如果存在，请求出
（1）f /x / / 2 x / 1
（2）f /x / / x 3 / 3 x 2 / 2 x
（3）f /x / / lg /x / 1/
（4）f ( x ) / 4 x / 5
问题： 能否得出求函数零点步骤?
【预设答案】看函数图象； 将函数转化为方程，求方程的根。
【设计意图】 函数零点的概念的强化，通过数形结合方式将函数零点，方程的根，函数图
象与x 轴交点横坐标三者之间关系的不断强化。
2.函数零点存在性定理的得出
2.1 巧借情景，研讨新知
问题： 由函数零点定义，求下列方程的根？
（4）ln x / 2x / 6 / 0
无法解决，寻求出路。
函数f(x) / ln x / 2x / 6的零点是什么?
仍然无法解决，先看两个情景。
【活动预设】
情景一：下图是某地某天从 0 点到 12 点的气温变化图，已知气温连续变化，请将图形补
充成完整.
情景二： 观察以下两组图片，哪一组能说明小黄人一定渡过河?
教师讲授：
1. 函数零点存在定理
如果函数y / f(x) 在区间[a, b] 上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)/ 0 ，那么函数 y / f(x) 在区间(a, b) 内至少有一个零点，即存在c / (a, b) ，使得f(c) / 0 ，这个 c 也就是方程
f(x) / 0 的解.
2. 函数零点存在定理的几何意义.
在闭区间[a, b]上有连续不断的曲线y / f(x) ，且曲线的起点(a, f(a)) 与终点(b, f(b)) 分别在x
轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点.
【设计意图】 由两个生活情境入手，简单有趣，深入浅出的给出零点存在定理，引发学生学习
兴趣。
2.2 典例剖析，初步掌握
问题： 例： 求函数f(x) / ln x / 2x / 6 的零点个数.
【预设答案】方法一：用几何画板作出f(x)的图象
方法二： 寻找函数值符号的变化规律，用计算机作出x, f(x)的对应值表。
教师讲授： 函数零点的求解中需要考虑函数图象是否连续，两点函数值是否异号，以及函
数单调性。即函数零点存在性定理与函数单调性缺一不可。
【设计意图】 借助科技手段如计算机等帮助我们解决数学问题，也给出一般方法，一题多解，
开阔学生解题思路，强化学生思维。并对函数零点存在定理加强运用，使得学生可以熟练掌握。
2.3 课堂巩固，熟练运用
问题：
练习 1：在下列哪个区间内, 函数f(x) / x3 / 3x / 5 一定有零点（ ）
a.( －1,0 ）b.(0,1 ）c.(1,2 ）d.(2,3）
练习 2：已知函数 f(x) 的图象是连续不断的，那么该函数在区间[1 ，6]上有（ ）零点.
a.只有 3 个b.至少有 3 个c.至多有 3 个d.无法确定
练习 3：函数 f(x) / ln x / 2 的零点所在的大致区间是（ ）
2.4 独辟蹊径，总结提升
问题：
例： 求函数f(x) / ln x / 2x / 6 的零点个数.
【预设答案】
方法三： 将函数f(x) / ln x / 2x / 6的零点个数转化为
函数y / ln x与y / /2x / 6的图象交点的个数.
问题： 你能否得到一般结论？
【预设答案】
以f(x) / g(x) - h(x) 为例
1.整理： 化函数为方程g(x) / h(x) 的形式，其中函数y / g(x) 和y / h(x)的图象易画.
2.画图： 画函数y / g(x) 和y / h(x) 的图象.
3.观察： 函数y / g(x) 和y / h(x)的图象的交点.
4.验证： 利用零点存在定理进行计算验证.
【设计意图】 一题多解，拓宽思路，增强学生思维宽度与广度，同时加强学生对函数零点的概
念的掌握和运用。
3.思想方法，总结归纳
一个关系： 函数零点与方程解的关系.
一个定理： 零点存在定理.
三种思想：
特殊到一般思想； 函数方程思想； 数形结合思想.
三种题型：
求函数的零点； 判断零点个数； 求零点所在区间.
总结： 古代哲学家老子说过：
道生一，一生二，二生三，三生万物。
老子的这句话，阐述的正是我们这节课所应用的解决问题方法： 从特殊到一般。 同学们可以尝试用这样的方法来探索未知的领域。
1.2.函数的概念}教案
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
教学分析
函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(ⅰ)和基本初等函数(ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．
三维目标
1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．
2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．
重点难点
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．
课时安排
2课时
第1课时
问题：已知函数y＝请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．
推进新课
(1)给出下列三种对应：(幻灯片)
①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.
时间t的变化范围是数集a＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集b＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈a，h∈b.
②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积s(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．
图1
根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集a＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集b＝{s|0≤s≤26}，则有对应：
f：t→s，t∈a，s∈b.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间(t)
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
恩格尔
系数(y)
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
根据上表，可知时间t的变化范围是数集a＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集b＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈a，y∈b.
以上三个对应有什么共同特点？
(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.
(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？
(4)函数有意义又指什么？
(5)函数f：a→b的值域为c，那么集合b＝c吗？[来源:z+xx+]
活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．
解：(1)共同特点是：集合a，b都是数集，并且对于数集a中的每一个元素x，在对应关系f：a→b下，在数集b中都有唯一确定的元素y与之对应．
(2)一般地，设a，b都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作y＝f(x)，x∈a，其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域．
在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x＞a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x＜a}
(－∞，a)
(－∞，＋∞)
(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．
(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．
(5)c?b.
例题 题已知函数f(x)＝＋，
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．
活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围.有意义，则x＋3≥0，有意义，则x＋2≠0，转化为解由x＋3≥0和x＋2≠0组成的不等式组．
(2)让学生回想f(－3)，f表示什么含义？f(－3)表示自变量x＝－3时对应的函数值，f表示自变量x＝时对应的函数值．分别将－3，代入函数的对应法则中得f(－3)，f的值．
(3)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值，f(a－1)表示自变量x＝a－1时对应的函数值．分别将a，a－1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a－1)的值．
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得－3≤x＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝＋＝－1；f＝＋＝＋.
(3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意义．
则f(a)＝＋；f(a－1)＝＋＝＋.
点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．
f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等．
符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系：当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m对应的函数值，是一个常量．
已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集r.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.
变式训练
1．函数y＝－的定义域为．
答案：{x|x≤1，且x≠－1}．
点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y＝x＋1－，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．
2．若f(x)＝的定义域为m，g(x)＝|x|的定义域为n，令全集u＝r，则m∩n等于()
a．m b．n
c．?umd．?un
解析：由题意得m＝{x|x＞0}，n＝r，则m∩n＝{x|x＞0}＝m.
答案：a
3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域是．
解析：要使函数f(2x－1)有意义，自变量x的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1.
答案：[0,1]
1．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＋＝.
解析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即f2(x)＝f(2x)．
令q＝1，得f(p＋1)＝f(p)f(1)，
∴＝f(1)＝3.
∴原式＝＋＋＋＋＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.
答案：30
2．若f(x)＝的定义域为a，g(x)＝f(x＋1)－f(x)的定义域为b，那么()
a．a∪b＝bb．abc．a?bd．a∩b＝
解析：由题意得a＝{x|x≠0}，b＝{x|x≠0，且x≠－1}．则a∪b＝a，则a错；a∩b＝b，则d错；由于ba，则c错，b正确．
答案：b
问题：已知函数f(x)＝x2＋1，x∈r.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．
解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈r，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．
∴对任意x∈r，总有f(x)＝f(－x)．
本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．
课本习题1.2a组1,5.
本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．
19.2.1 第1课时 正比例函数的概念导学案
第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
学习目标：1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
重点：正比例函数的概念及其简单应用；
难点：会求正比例函数的解析式.
一、知识链接
1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m（元）与销售量n（千克）成比例，其比例系数为.
2.举例说明什么是函数及自变量.
二、新知预习
1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题t（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
（5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量的形式.
2.自主归纳：
一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
三、自学自测
1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
回答下列问题：
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是；
(2)当n时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k时，y=3x+k是正比例函数.
四、我的疑惑
要点探究
探究点1：正比例函数的概念
问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？
典例精析
例1： 已知函数 y=(m-1)是正比例函数，求m的值.
方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不等于0.
探究点2：求正比例函数的解析式
例2 若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2. （1）求正比例函数的解析式； （2）求当x=6时函数y的值.
方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为y=kx；（2）代：将已知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.
探究点3：正比例函数的简单应用
问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.
设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
例3：已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 l．所使用的汽油为5元/ l ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
方法总结:判断是否为正比例函数的依据是函数解析式能否化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式.
针对训练
1.(1)若y=(m-2)x|m|-1是正比例函数，则m=；
(2)若y=(m-1)x+m2-1是正比例函数，则m=.
2.已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当x=6时，y的值为.
二、课堂小结
定义
求解析式
要点提示
正比例函数
形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
只需一个已知条件求出比例系数k即可
(自变量x的指数是1,且比例系数k≠0；(函数是正比例函数→其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式.
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（）
a.圆的面积s与它的半径r
b.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t
c.正方形的面积s与边长a
d.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t
下列说法正确的打“√”，错误的打“xxxxx”.
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）
（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（）
3.填空
（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.
（4）若是关于x的正比例函数，m=_____.
4.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
3..1.第1课时xxxxx函数的概念(1)
[a基础达标]
1．(多选)对于函数f：a→b，若a∈a，则下列说法正确的是()
a．f(a)∈bb．f(a)有且只有一个
c．若f(a)＝f(b)，则a＝b d．若a＝b，则f(a)＝f(b)
解析：选abd．根据函数的定义可知，a，b，d正确；c错误．
2．下列对应关系是从集合m到集合n的函数的是()
a．m＝r，n＝{x∈r|x>0}，f：x→|x|
b．m＝n，n＝n*，f：x→|x－1|
c．m＝{x∈r|x>0}，n＝r，f：x→x2
d．m＝r，n＝{x∈r|x≥0}，f：x→
解析：选c．对于a，集合m中x＝0时，|x|＝0，但集合n中没有0；对于b，集合m中x＝1时，|x－1|＝0，但集合n中没有0；对于d，集合m中x为负数时，集合n中没有元素与之对应；分析知c中对应关系是集合m到集合n的函数．
3．已知函数f(x)＝，则f(－2)＝()
a．－1b．0
c．1 d．2
解析：选c．由题意知f(－2)＝＝＝1.故选c．
4．函数y＝的定义域是()
a．
b．
c．
d．
解析：选b．由题意，可得2－≥0，即≥0，即2x2－x－1≥0，解得x≤－或x≥1.故选b．
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()
a．1 b．0
c．－1 d．2
解析：选a．因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝(a－1)2－1＝－1.所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1.故选a．
6．已知函数f(x)＝x2－mx＋n且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝，f(f(x))＝．
解析：由题意知解得
所以f(x)＝x2－x－1，
故f(－1)＝1，f(f(－1))＝f(1)＝－1，
f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
答案：－1x4－2x3－2x2＋3x＋1
7．已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝，函数g(x)的定义域是．
解析：g(x)＝f(x－3)＝，由得x≥3，且x≠4.
答案：{x|x≥3，且x≠4}
8．若函数f(x)＝的定义域为r，则实数m的取值范围是．
解析：f(x)的定义域为r，则mx2＋4mx＋3≠0对任意的x∈r恒成立．①当m＝0时，3≠0，满足题意；②当m≠0时，只需xxxxx＝16m2－12m＜0即可，所以0＜m＜.综上所述，实数m的取值范围是0≤m＜.
答案：
9．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解：(1)根据题意知x－1≠0，且x＋5≥0，所以x≥－5，且x≠1，即函数f(x)的定义域为{x|x≥－5，且x≠1}．
(2)f(－1)＝－5，f(12)＝－.
10．一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h＝130t－5t2①.求：
(1)①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述函数．
(2)t为何值时，h达到845 m?
解：(1)定义域为{t|0≤t≤26}，值域为{h|0≤h≤845}，对于数集{t|0≤t≤26}中的任意一个数t，在数集{h|0≤h≤845}中都有唯一确定的数h＝130t－5t2与之对应．
(2)当t＝－＝13 s时，h＝845 m．
[b能力提升]
11．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)＝()
a．p＋qb．3p＋2q
c．2p＋3q d．p3＋q2
解析：选b．因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(4)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f()＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
12．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是()
a．f(x)＝|x| b．f(x)＝x－|x|
c．f(x)＝x＋1 d．f(x)＝－x
解析：选abd．在a中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在b中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在c中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在d中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x).
13．若函数f(x)的定义域为{x|－2≤x≤1}，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为．
解析：由题意，得即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}．
答案：{x|－1≤x≤1}
14．2020年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示．
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求这一天12时所对应的温度．
解：(1)设从2020年11月2日8时起24小时内，经过时间t的温度为y ℃，则定义域为{t|0≤t≤24}，值域为{y|2≤y≤12}．
(2)由图知，12时的温度约为9.3 ℃.
[c拓展探究]
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋xxxxx＋f(2 019)＋f＋f(2 020)＋f的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.证明如下：
f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
xxxxx
f(2 020)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋xxxxx＋f(2 019)＋f＋f(2 020)＋f＝2 020.
19.2.2 第1课时 一次函数的概念导学案
第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
学习目标：1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.
重点：掌握一次函数的概念.
难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.
一、知识链接
1.一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数.
2.下列哪些函数是正比例函数？如果是，请说出比例系数.
（1）y=3x；（2）y=；（3）y=；（4）y=3x2；（5）.
二、新知预习
1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7 倍与35的差；
（2）一种计算成年人标准体重g（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是g 的值；
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
（5）观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
2.自主归纳：
一般地，形如（k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
三、自学自测
1.下列哪些函数是一次函数？如果是，请分别说出k，b是多少.
（1）y=3x+2；（2）y=4（x+1）；（3）y=；（4）y=x（3x+2）；（5）y=.
2.当m,n时，函数y=(m-3)xn+m+2是一次函数.
四、我的疑惑
要点探究
探究点1：一次函数的概念
问题1：一次函数的定义是什么？它与正比例函数又有何联系？
典例精析
例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
要点归纳：
1.一次函数y=kx+b的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是次;
（2）比例系数k；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
2.（1）当b时，y=kx+b 即y=(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
方法总结：将两组自变量及对应的函数值代入函数解析式中，得到关于k，b的方程组，
解方程即可.
针对训练
1.已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
2.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
探究点2：一次函数的简单应用
例3 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱中剩余的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y是x 的一次函数吗？
针对训练
1.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为：（3860-3500）%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式；
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
2.如图，△abc是边长为x的等边三角形.
（1）求bc边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
（2）当h=时，求x的值.
（3）求△abc的面积s与x的函数解析式.s是x的一次函数吗？
二、课堂小结
一次函数
形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
一次函数与正比例函数的关系
正比例函数是一次函数的特殊情形，但一次函数不一定是正比例函数.只有当b=0时，一次函数才是正比例函数.
一次函数关系式的确定
根据实际问题抽象出一次函数解析式，同时要注意自变量的取值范围使实际问题有意义.
1.下列说法正确的是（）
a.一次函数是正比例函数b.正比例函数不是一次函数
c.不是正比例函数就不是一次函数d.正比例函数是一次函数
2.在函数①y=2-x；②y=8+0.03t；③y=1+x+；④y=中，是一次函数的有.
3.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足,.
4.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式；
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
19.2.2 第1课时 一次函数的概念导学案
第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
学习目标：1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.
重点：掌握一次函数的概念.
难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.
一、知识链接
1.一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数.
2.下列哪些函数是正比例函数？如果是，请说出比例系数.
（1）y=3x；（2）y=；（3）y=；（4）y=3x2；（5）.
二、新知预习
1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7 倍与35的差；
（2）一种计算成年人标准体重g（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是g 的值；
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
（5）观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
2.自主归纳：
一般地，形如（k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
三、自学自测
1.下列哪些函数是一次函数？如果是，请分别说出k，b是多少.
（1）y=3x+2；（2）y=4（x+1）；（3）y=；（4）y=x（3x+2）；（5）y=.
2.当m,n时，函数y=(m-3)xn+m+2是一次函数.
四、我的疑惑
要点探究
探究点1：一次函数的概念
问题1：一次函数的定义是什么？它与正比例函数又有何联系？
典例精析
例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
要点归纳：
1.一次函数y=kx+b的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是次;
（2）比例系数k；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
2.（1）当b时，y=kx+b 即y=(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
方法总结：将两组自变量及对应的函数值代入函数解析式中，得到关于k，b的方程组，
解方程即可.
针对训练
1.已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
2.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
探究点2：一次函数的简单应用
例3 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱中剩余的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y是x 的一次函数吗？
针对训练
1.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为：（3860-3500）%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式；
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
2.如图，△abc是边长为x的等边三角形.
（1）求bc边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
（2）当h=时，求x的值.
（3）求△abc的面积s与x的函数解析式.s是x的一次函数吗？
二、课堂小结
一次函数
形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
一次函数与正比例函数的关系
正比例函数是一次函数的特殊情形，但一次函数不一定是正比例函数.只有当b=0时，一次函数才是正比例函数.
一次函数关系式的确定
根据实际问题抽象出一次函数解析式，同时要注意自变量的取值范围使实际问题有意义.
1.下列说法正确的是（）
a.一次函数是正比例函数b.正比例函数不是一次函数
c.不是正比例函数就不是一次函数d.正比例函数是一次函数
2.在函数①y=2-x；②y=8+0.03t；③y=1+x+；④y=中，是一次函数的有.
3.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足,.
4.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式；
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
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19.2.1正比例函数的概念课件
复习旧知
1.函数的定义：一般的，在一个变化过程中有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2.函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
3.函数的三种表示方法：
①列表法②图象法③解析式法
曾经，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。
（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？
=200（km）
y=200x （0≤x≤128）
（3）这只燕鸥飞行1个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
当x=45时，y==9000
导入新课
19.2.1正比例函数
人教版八年级数学 下册
第1课时 正比例函数的概念
学习目标
1.掌握正比例函数的概念.
2.弄清正比例函数解析式中字母的意义.
3.会求正比例函数的解析式.
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm3）的变化而变化．
目标导学一：正比例函数的概念
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，
一些练习本摞在一起的总厚度h
（单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每
分钟下降2℃，物体温度t（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
(3)h=0.5n
(4)t=-2t
问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
这些函数解析式有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
2，xxxxx
7.8
0.5
-2
函数=常数xxxxx自变量
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
为什么强调k是常数， k≠0呢？
y = kx (k≠0的常数)
因为当k=0时，正比例函数y=,即y=0,这不能准确表达自变量与函数的关系，失去了解析式的意义
归纳
思考
下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？
是，比例系数k=3.
不是.
是，比例系数k=
你能举出一些正比例函数的例子吗？
s 不是r的正比例函数，s是
的正比例函数.
试一试
（1）解析式：
函数是正比例函数其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式；
深入理解
（2）解析式的特征：
正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的特征：
①k≠0，
②自变量x的指数是1；
深入理解
（3）自变量的取值范围：
一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中或者是在具体规定取值范围的前提下，正比例函数自变量的取值范围就不是全体实数了。
深入理解
正比例函数y = k x（k≠0）
例1 下列函数中，是正比例函数的为（）
正比例函数y=kx中，当x=2时，
y=10，则它的解析式是.
若一个正比例函数的比例系数是4，
则它的解析式是.
y = 4x
y = 5x
即学即练
3.回答下列问题：
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是；(2)当n时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k时，y=3x+k是正比例函数.
m≠1
=1
=0
即学即练
解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，
把 x =-4, y =2 代入上式，得
2 = -4k，
（2）当 x=6 时, y = -3.
例3 若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2. （1）求正比例函数的解析式； （2）求当x=6时函数y的值.
例4 已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y的值。
已知y与x+2 成正比例，当x=4时，y=12，那么当x=5时，y=.
解：
∵ y与x+2 成正比例
∴y=k(x+2)
∵当x=4时，y=12
∴12=k(4+2)
解得：k=2
∴y=2x+4
∴当x=5时，y=14
14
即学即练
例5 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15l．所使用的汽油为5元/ l ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
即.
解：
（1）y=，
（2）当x=220
时，
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
y是x的正比例函数.
目标导学二：正比例函数的简单应用
例6 某学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例，当x=4（个）时，y=100（元）。
（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求当x=10（个）时，函数y的值；
（3）求当y=500（元）时，自变量x的值。
解（1）设所求的正比例函数的解析式为y=kx，
（2）当x=10（个）时，y=25x==250（元）。
∵当x =4时，y =100，∴100=4k。
解得 k= 25。
∴所求正比例函数的解析式是y=25x。
自变量x的取值范围是所有自然数。
1.已知△abc的底边bc=8cm，当bc边上的高线从小到大变化时， △abc的面积也随之变化。
（1）写出△abc的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
（2）当x=7时，y==28
即学即练
2.若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y与x的解析式；
（2）当x=20时，求出对应的函数值y.
解：（1）设该正比例的函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式，
得-6=2k， 解得k=-3.
所以y与x的解析式是y=-3x.
（2）把x=20代入解析式，得y=-=-60.
即学即练
正比例函数的概念
形式：y=kx（k≠0）
求正比例函数的解析式
利用正比例函数解决简单的实际问题
1.设
2.代
3.求
4.写
课堂小结
检测目标
2．下列问题中的y与x成正比例函数关系的是（ ）．
a．圆的半径为x，面积为y ;
b．某地手机月租为10元，通话收费标准为0.1元/min，
若某月通话时间为x min，该月通话费用为y元;
c．把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入x本，
第二个抽屉放入y本;
d．长方形的一边长为4，邻边长为x，面积为y .
检测目标
说法正确的是（ ）．
检测目标
4.填空
(2)
若
是正比例函数，
则 k = （），
此时的函数解析式为
（）
-2
-2
y=-4x
检测目标
5.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与
x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx.
∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
检测目标
说说这节课你学到了什么 ?
有什么体会 ?
有什么感想 ?
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
a2《对数函数的概念》主题说明
《对数函数的概念》主题说明
基本信息
县（市、区）
牡丹江市
学校
牡丹江市朝鲜族中学
姓名
桂淑伊
学科
数学
能力维度
□学情分析 (教学设计 □学法指导□学业评价
所属环境
(多媒体教学环境□混合学习环境□智慧学习环境
微能力点
a2数字教育资源获取与评价
教学环境
线上多媒体教学环境
课题名称
对数函数的概念
主要内容
本节主要内容是对数函数的概念。本节类比指数函数的研究过程与方法，研究指数函数的图像及性质的基础上，进行数学运算、逻辑推理，获得对数函数。
教学对象
高一学生
教学重点
对数函数的概念
学习难点
对数函数的概念的应用
自评等级
(优秀 □合格 □不合格
3.1.1函数的概念集体备课记录表1
课 题
3.1.1函数的概念
课时
课型
新授课
主备
教师
夏禹
二次备课教师
胡渊泉
教学目标
通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;
用集合与对应的思想理解函数的概念;
理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;(
学科素养：
1.数学抽象：函数符号的含义；
2.逻辑推理：函数的概念；
3.数学运算：求函数的定义域；
4.直观想象：由具体例子概括函数的概念。
教学
重点
函数的概念；
2、给定函数解析式，如何给出与其对应的现实情境。
教法与学法简述
讲授法+演示法
探究学习
教学
难点
给定函数解析式，如何给出与其对应的现实情境。
教学准备
多媒体
教学内容设计
二次备课设计
教学过程
新课引入
回顾初中学习的函数概念，分析教材第60页问题1，思考：有人说“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了”你认为这个说法正确吗？
合作探究
教材第60页问题1
某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半个小时。这段时间内，列车行进路程(单位：)与运行时间(单位：)的关系可以表示为什么？
教材第61页问题2
某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
教材第61~62页问题3和问题4
如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值i？你认为这里的i是t的函数吗？
国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
概念形成
函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（），记作：y=f(x)x∈a．
其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈a }叫做函数的值域.
想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？
一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。
（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，
如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；
牛刀小试
1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x,y的值也不同
③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量
④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
a.1个 b.2个 c.3个 d.4个
练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：
函数
一次函数
二次函数
反比函数
a>0
第一节 解析函数的概念课件
第一节 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
二、解析函数的概念
三、小结与思考
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
在定义中应注意:
例1
解
例3
解
2.可导与连续:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
证
[证毕]
3.求导法则:
由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.
求导公式与法则:
10
11
4.微分的概念:
复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.
定义
12
特别地,
13
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
14
2. 奇点的定义
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.
15
例4
解
由本节例1和例3知:
16
17
18
例5
解
19
例6
解
20
21
课堂练习
答案
处处不可导,处处不解析.
22
定理
以上定理的证明, 可利用求导法则.
23
根据定理可知:
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
24
三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的
概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及
求导方法.
注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数
的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求
导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限
存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在
一点可导的条件比实变函数严格得多.
25
思考题
26
思考题答案
反之不对.
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4 总共6页
.函数的概念及其表示课件
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第二单元 函数的概念与基本性质
§2.1函数的概念及其表示
学 基础知识
讲 考点考向
悟 方法技巧
学 基础知识
学 基础知识
知识清单
非空数集
非空集合
任意
任意
唯一确定
唯一确定
定义域
值域
定义域
对应关系
解析法
列表法
对应关系
并集
并集
拓展知识
特别提醒
夯实基础
【概念辨析】
1. 判断下面结论是否正确.（对的打“√”,错的打“×”）
×
√
×
×
【对接教材】
【易错自纠】
讲 考点考向
考点1 求函数的定义域
【考向变换】
(0,+∞)
考向1 求给定函数解析式的定义域
点拨 求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,可借助于数轴,注意端点值的取舍.
考向2 求抽象函数的定义域
考向3 已知定义域确定参数问题
考点2 求函数的解析式
【题组过关】
考点3 分段函数
【典例迁移】
点拨 分段函数是一个函数,只是当自变量取不同范围值时,有不同的对应关系.因此由分段函数解析式求函数值,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解即可.
悟 方法技巧
方法突破 换元法求函数的值域
方法总结
温馨提示
本课件由金太阳教育出品，仅限教学使用。
本课件所有权和著作权归本公司所有，
任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！
d6_2多元函数的基本概念课件
推广
第六章
一元函数微分学
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
多元函数微积分法
第六章
第二节
一、邻域
二、多元函数的定义
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
当
时, 有
几何解释:
一、 邻域
点集
称为点 p0 的? 邻域.
例如,在平面上,
(圆邻域)
在空间中,
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成
点 p0 的去心邻域记为
* n 维空间
n 元有序数组
的全体所构成的集合记作
即
中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即
定义:
线性运算
其元素称为点或
n 维向量.
xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.
称为 n 维空间,
的距离定义为
中点 a 的 ? 邻域为
与零元 0 的距离为
则称 x
显然
趋于a ,
二、多元函数的概念
引例:
? 圆柱体的体积
? 定量理想气体的压强
? 三角形面积的海伦公式
定义1. 设非空点集
点集 d 称为函数的定义域 ;
数集
称为函数的值域 .
特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
映射
称为定义
在 d 上的 n 元函数 , 记作
例如, 二元函数
定义域为
圆域
说明:
二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? d
图形为中心在原点的上半球面.
的图形一般为空间曲面 ? .
三元函数
定义域为
图形为
空间中的超曲面.
单位闭球
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数
点 ,
则称 a 为函数
(也称为 n 重极限)
当 n =2 时, 记
二元函数的极限可写作：
p0为平面上一
若存在常数 a ,
对一
记作
都有
对任意正数 ? , 总存在正数? ,
切
例1. 设
求证:
证:
故
总有
注：无穷小乘有界仍然是
无穷小
例2.
例3.
例4. 设
求证：
证：
故
总有
? 若当点
趋于不同值或有的极限不存在，
解: 设 p(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,
在点 (0, 0) 的极限.
则可以断定函数极限
则有
k 值不同极限不同 !
在 (0,0) 点极限不存在 .
以不同方式趋于
不存在 .
例3. 讨论函数
函数
四、 多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数
定义在 d 上,
如果函数在 d 上各点处都连续, 则称此函数在 d 上
如果存在
否则称为不连续,
此时
称为间断点 .
则称 n 元函数
连续.
连续,
例如, 函数
在点(0 , 0) 极限不存在,
又如, 函数
上间断（因为在该圆周上无定义）.
故 ( 0, 0 )为其间断点.
在圆周
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
例.
在（1,2）点连续。
所以
定理：若 f (p) 在有界闭域 d 上连续, 则
* (4) f (p) 必在d 上一致连续 .
在 d 上可取得最大值 m 及最小值 m ;
(3) 对任意
(有界性定理)
(最值定理)
(介值定理)
(一致连续性定理)
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
(证明略)
解: 原式
例5.求
例6. 求函数
的连续域.
解:
内容小结
1. 区域
邻域 :
2. 多元函数概念
n 元函数
常用
二元函数
(图形一般为空间曲面)
三元函数
有
3. 多元函数的极限
4. 多元函数的连续性
1) 函数
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
有界定理 ;
最值定理 ;
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
p62题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 6；8
p130 题 3; *4
思考与练习
解答提示:
p61 题 2.
称为二次齐次函数 .
p61 题 4.
p61 题 5(3).
定义域
p61 题 5(5).
定义域
p62 题 8.
间断点集
p129 题 3.
定义域
p129 题 *4.
令 y= k x ，
, 则
可见极限
不存在
p615 (2), (4), (6)
6 (2), (3), (5), (6)
*7， *10
第二节
作 业
备用题
1. 设
求
解法1 令
1 .
设
求
解法2 令
即
2.
是否存在？
解: 利用
所以极限不存在.
3. 证明
在全平面连续.
证:
为初等函数 , 故连续.
又
故函数在全平面连续 .
由夹逼准则得
《三角函数的概念的教案（精选）》
高中数学具有一定难度，学生不容易吸收过难的知识，只有老师把知识消化后再用简单的方式讲解，学生才会更加容易吸收，以下是小编为大家带来的《三角函数的概念的教案》
教材分析
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
教学目标与核心素养
课程目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．
数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用
.教学重难点 重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学
，精讲多练。教学工具：多媒体。
教学过程
一、 情景导入
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心o为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点o为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么：
(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点o的距离是r＝＞0)．正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．诱导公式一 四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点p(x，y)，设p到原点的距离为r(r>0)，则，.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．跟踪训练一题型二 三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点p(cos α，tan α)在第象限．(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；③cos 5.
解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
题型三 诱导公式一的应用例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．跟踪训练三1．化简下列各式：五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计 七、作业课本179页练习及182页练习. 教学反思本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.
4.4.1、4.4.2 对数函数的概念、图象和性质课件
4.4 对数函数
数学（人教版）
必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.4.1对数函数的概念
4.4.2对数函数的图象和性质
(0，＋∞)
增
减
(1,0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
预习验收 衔接课堂
(2,0)
课堂探究评价
关键能力 素养提升
课堂检测 基础达标
谢谢~
19-09-11高一数学《函数的概念》(课件)
在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系，现在我们将进一步学习函数及其构成要素， 下面先看几个实例.
一、实例引入
(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h=130t-5t2这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集a={t | 0≤h≤845}.
(2)近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，图中曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况.根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集a={t | 1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集b={0≤s≤26}.
(3)表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？
思考
1. 函数的定义
设a、b是非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合a中的任意一个数x， 在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数()， 记作y = f (x)， x∈a.其中, x叫做自变量, x的取值范围a叫做函数的定义域(; 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈a}叫做函数的值域(range).
二、新知讲解
1. 函数的定义
设a、b是非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合a中的任意一个数x， 在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数()， 记作y = f (x)， x∈a.其中, x叫做自变量, x的取值范围a叫做函数的定义域(; 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈a}叫做函数的值域(range).
二、新知讲解
注：值域是集合b的子集
2.区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念. 设a、b是两个实数， 而且a
章末综合测评函数的概念与性质答案
章末综合测评(三)函数的概念与性质
1 c[要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0．故选c．]
2．d[∵3>1， ∴f (3)＝32＋3＝12．故选d．]
3．c[由f (x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，当x＝2时，f (x)取到最小值－4，
当x＝5时，f (x)取得最大值5，故值域为[－4，5]．故选c．]
4．b[∵f (5)＝125a＋5b＋4＝10，∴125a＋5b＝6，∴f (－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2．故选b．]
5．d[法一：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f (－2)＝f (2)＝f (0)＝0．当x>0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x
《函数概念》微课程设计方案
《函数概念》微课程设计方案
作者信息
姓 名
杨晓琴